Упр.22.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На оси абсцисс случайным образом выбирают точку $$B(x; 0)$$, $$-2 \leq x \leq 6$$, и соединяют её с фиксированной точкой $$A(4; 4)$$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $$AB$$ к положительному направлению оси абсцисс: а) тупой; б) меньше $$45^\circ$$; в) острый; г) больше $$60^\circ$$?

Угол наклона отрезка $$AB$$ к положительному направлению оси абсцисс задаётся формулой

$$\tg \alpha=\frac{4-0}{4-x}=\frac{4}{4-x}.$$

Точка $$B(x;0)$$ выбирается равновероятно на отрезке $$[-2;6]$$, длина которого равна $$8$$.

1. Угол тупой, если $$\tg \alpha<0.$$

   Тогда $$\frac{4}{4-x}<0 \;\Rightarrow\; 4-x<0 \;\Rightarrow\; x>4.$$

   Подходящий промежуток: $$[4;6]$$, его длина равна $$2$$.

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

2. Угол меньше $$45^\circ$$, если $$0<\tg \alpha<1.$$

   Так как $$\frac{4}{4-x}<1,$$ при этом $$\tg \alpha>0$$, получаем

   $$4<4-x \;\Rightarrow\; x<0.$$

   Подходящий промежуток: $$[-2;0]$$, его длина равна $$2$$.

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

3. Угол острый, если $$\tg \alpha>0.$$

   Тогда $$\frac{4}{4-x}>0 \;\Rightarrow\; 4-x>0 \;\Rightarrow\; x<4.$$

   Подходящий промежуток: $$[-2;4]$$, его длина равна $$6$$.

   $$P=\frac{6}{8}=\frac34=0{,}75.$$

4. Угол больше $$60^\circ$$, если $$\tg \alpha>\sqrt{3}.$$

   Так как угол должен быть острым, имеем $$x<4$$, и потому

   $$\frac{4}{4-x}>\sqrt{3} \;\Rightarrow\; 4>\sqrt{3}(4-x).$$

   Отсюда

   $$4>4\sqrt{3}-x\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x\sqrt{3}>4(\sqrt{3}-1) \;\Rightarrow\; x>\frac{4(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}=\frac{4(3-\sqrt{3})}{3}.$$

   Значит, $$x\in\left(\frac{4(3-\sqrt{3})}{3};\,4\right),$$ и длина этого промежутка равна

   $$4-\frac{4(3-\sqrt{3})}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

   Тогда

   $$P=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}+2}{4\sqrt{3}}.$$

Ответ: а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}25$$; в) $$0{,}75$$; г) $$\dfrac{\sqrt{3}+2}{4\sqrt{3}}$$.