Упр.22.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами $$6$$ и $$8$$, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Найдём параметры окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами $$6$$ и $$8$$.

Гипотенуза:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

а)

Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника:

$$P=\frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{\frac12\cdot 6\cdot 8}{\pi\cdot 5^2}=\frac{24}{25\pi}.$$

б)

Вероятность того, что точка лежит внутри вписанной окружности:

$$P=\frac{S_{\text{впис}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{\pi\cdot 2^2}{\pi\cdot 5^2}=\frac{4}{25}=0{,}16.$$

в)

Вероятность того, что точка лежит вне треугольника:

$$P=1-\frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{окр}}}=1-\frac{24}{25\pi}.$$

г)

Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной окружности:

$$P=\frac{S_{\text{тр}}-S_{\text{впис}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{24-4\pi}{25\pi}.$$

Ответ

а) $$\frac{24}{25\pi}$$; б) $$0{,}16$$; в) $$1-\frac{24}{25\pi}$$; г) $$\frac{24-4\pi}{25\pi}$$.