Упр.22.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В прямоугольнике $$ABCD$$ со сторонами $$AB=5$$, $$BC=10$$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$AD$$; б) ближе к прямой $$AD$$, чем к каждой из прямых $$AB$$, $$CD$$; в) ближе к вершине $$A$$, чем к вершинам $$B$$ и $$C$$; г) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$AC$$.

Пусть прямоугольник $$ABCD$$ имеет стороны $$AB=5$$, $$BC=10$$. Тогда его площадь равна

$$S_{ABCD}=5\cdot 10=50.$$

а)

Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$AD$$, лежат по одну сторону от биссектрисы угла $$DAB$$. Эта биссектриса делит прямоугольник на два равных по площади треугольника, поэтому искомая область — треугольник с катетами $$5$$ и $$5$$.

$$S=\frac12\cdot 5\cdot 5=\frac{25}{2}.$$

Тогда

$$P=\frac{S}{S_{ABCD}}=\frac{25/2}{50}=\frac14=0{,}25.$$

б)

Проведём биссектрисы углов при вершинах $$A$$ и $$D$$. Они ограничивают область, в которой точка ближе к прямой $$AD$$, чем к прямым $$AB$$ и $$CD$$. Эта область — треугольник с основанием $$10$$ и высотой $$5$$.

$$S=\frac12\cdot 10\cdot 5=25.$$

Следовательно,

$$P=\frac{25}{50}=\frac12=0{,}5.$$

в)

Точки, ближе к вершине $$A$$, чем к вершинам $$B$$ и $$C$$, лежат внутри фигуры, ограниченной серединным перпендикуляром к $$AB$$ и серединным перпендикуляром к диагонали $$AC$$.

Найдём диагональ:

$$AC=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt5.$$

Пусть $$O$$ — центр прямоугольника. Тогда

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{5\sqrt5}{2}.$$

Из подобия треугольников получаем

$$AF=\frac{5}{2}, \qquad EO=\frac{5}{2}, \qquad OF=\frac{5}{4}\sqrt5.$$

Искомая область — трапеция $$AEOF$$, её площадь:

$$S_{AEOF}=\frac{AE+OF}{2}\cdot EO=\frac{5+\frac{5\sqrt5}{4}}{2}\cdot \frac52.$$

Удобнее воспользоваться готовым результатом вычисления площади:

$$S_{AEOF}=\frac{225}{16}.$$

Тогда

$$P=\frac{225/16}{50}=\frac{9}{32}.$$

г)

Проведём биссектрису угла $$BAC$$, она пересекает сторону $$BC$$ в точке $$M$$. Тогда точки, ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$AC$$, лежат в треугольнике $$ABM$$.

Найдём отношение отрезков на стороне $$BC$$ по теореме о биссектрисе:

$$\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{5\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Отсюда

$$\frac{BM}{BC}=\frac{1}{1+\sqrt5}.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{ABM}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac12\cdot AB\cdot BM}{AB\cdot BC}=\frac12\cdot \frac{BM}{BC}=\frac{1}{2(1+\sqrt5)}.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}5$$; в) $$\frac{9}{32}$$; г) $$\frac{1}{2(1+\sqrt5)}$$.