Упр.22.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В прямоугольнике $$ABCD$$ со сторонами $$AB=2$$, $$BC=5$$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:
   а) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$;
   б) ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$;
   в) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$;
   г) ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей.

Площадь прямоугольника равна $$S_{ABCD}=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

а)

Точки, для которых расстояния до прямых $$AB$$ и $$CD$$ равны, лежат на средней линии прямоугольника, параллельной этим сторонам. Она делит прямоугольник на две равные части, значит

$$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

б)

Множество точек, равноудалённых от вершин $$A$$ и $$C$$, — серединный перпендикуляр к диагонали $$AC$$. Он делит прямоугольник на две равные по площади части, поэтому

$$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

в)

Точки, ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными половинам сторон прямоугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

г)

Точки, ближе к вершине $$A$$, чем к центру прямоугольника, лежат в треугольнике $$ABM$$, где $$M$$ — точка пересечения диагоналей. Диагональ прямоугольника:

$$AC=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}.$$

Так как диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, то

$$AM=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2}.$$

Площадь треугольника $$ABM$$ равна

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{AM}{\sqrt{29}} \cdot \sqrt{29}=\frac{21}{2}$$

или, что то же самое, по отношению площадей получаем

$$P=\frac{21/2}{10}=\frac{21}{100}=0{,}21.$$

Ответ

а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}2$$; г) $$0{,}21$$.