Упр.22.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Случайным образом выбирают одно из положительных решений неравенства $$3x\le 6-3x$$. Найдите вероятность того, что:

а) оно меньше $$0{,}1$$;

б) оно больше $$0{,}999$$;

в) оно ближе к $$0{,}4$$, чем к $$0{,}3$$;

г) оно дальше от $$0{,}7$$, чем от $$0{,}8$$.

Подробный ответ

Решим неравенство:

$$3^x \le 6-3x.$$

Проверим точку пересечения графиков:

$$3^1=3,\qquad 6-3\cdot 1=3.$$

Значит, при $$x=1$$ получаем равенство. Для положительных решений неравенства имеем:

$$0 \le x \le 1.$$

Случайно выбирается одно из чисел этого отрезка, поэтому вероятность равна отношению длины нужного промежутка к длине всего отрезка $$[0;1]$$.

$$x<0{,}1.$$
Длина промежутка $$[0;0{,}1]$$ равна $$0{,}1$$, значит
$$P=\frac{0{,}1-0}{1-0}=0{,}1.$$
$$x>0{,}999.$$
Длина промежутка $$[0{,}999;1]$$ равна $$1-0{,}999=0{,}001$$, значит
$$P=\frac{1-0{,}999}{1-0}=0{,}001.$$
Ближе к $$0{,}4$$, чем к $$0{,}3$$.
Ищем точки, для которых
$$|x-0{,}4|<|x-0{,}3|.$$
Это выполняется при
$$x>0{,}35.$$
Тогда нужная длина равна $$1-0{,}35=0{,}65$$, и
$$P=\frac{1-0{,}35}{1-0}=0{,}65.$$
Дальше от $$0{,}7$$, чем от $$0{,}8$$.
Ищем точки, для которых
$$|x-0{,}7|>|x-0{,}8|.$$
Это выполняется при
$$x<0{,}75.$$
Тогда нужная длина равна $$0{,}75$$, и
$$P=\frac{0{,}75-0}{1-0}=0{,}75.$$