Упр.22.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$\frac{2x^2+15x+18}{9+9x-4x^2}\ge 0$$. Что более вероятно: а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно; б) то, что оно меньше $$-3$$, или то, что оно больше $$-3$$; в) то, что оно целое, или то, что оно не целое; г) то, что оно больше $$-5$$, или то, что оно меньше $$-2$$?
Рассмотрим неравенство
$$\frac{2x^2+15x+18}{9+9x-4x^2}\ge 0.$$
Найдём нули числителя и знаменателя.
$$2x^2+15x+18=0,$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81,$$
$$x_1=\frac{-15-9}{4}=-6,\qquad x_2=\frac{-15+9}{4}=-\frac32.$$
$$9+9x-4x^2=0,$$
$$4x^2-9x-9=0,$$
$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=81+144=225,$$
$$x_1=\frac{9-15}{8}=-\frac34,\qquad x_2=\frac{9+15}{8}=3.$$
Тогда
$$\frac{2x^2+15x+18}{9+9x-4x^2}=\frac{2(x+6)\left(x+\frac32\right)}{-(4x-3)(x-3)}.$$
Решение неравенства:
$$x\in[-6,-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34,3\right).$$
Теперь сравним количества подходящих решений для каждого пункта.
Положительные решения: $$\left(-\frac34,3\right),$$ их длина $$3-\left(-\frac34\right)=\frac{15}{4}.$$
Отрицательные решения: $$[-6,-\tfrac32],$$ их длина $$-\frac32-(-6)=\frac92.$$
Так как $$\frac{15}{4}>\frac92,$$ более вероятно, что решение положительно.
Меньше $$-3$$: $$[-6,-3),$$ длина $$3.$$
Больше $$-3$$: $$(-3,-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34,3\right),$$ длина
$$\left(-\frac32-(-3)\right)+\left(3-\left(-\frac34\right)\right)=\frac32+\frac{15}{4}=\frac{21}{4}.$$
Значит, более вероятно, что решение больше $$-3$$.
Целых решений: $$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,$$ то есть 10.
Нецелых решений бесконечно много, значит более вероятно, что решение не целое.
Больше $$-5$$: $$(-5,-\tfrac32]\cup\left(-\tfrac34,3\right),$$ длина
$$\left(-\frac32-(-5)\right)+\left(3-\left(-\frac34\right)\right)=\frac72+\frac{15}{4}=\frac{29}{4}.$$
Меньше $$-2$$: $$[-6,-2),$$ длина $$4.$$
Так как $$\frac{29}{4}>4,$$ более вероятно, что решение больше $$-5$$.
Ответ: а) положительно; б) больше $$-3$$; в) не целое; г) больше $$-5$$.
