Упр.22.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$\sqrt{x}\leq 10$$. Найдите вероятность того, что оно:
   а) является решением неравенства $$\sqrt{x}\leq 1$$;
   б) принадлежит области определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2)$$;
   в) является решением неравенства $$\sqrt{x-10}\leq 5$$;
   г) принадлежит области значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1$$.

Множество всех возможных исходов одинаково для всех пунктов:

$$X=\{x:\sqrt{x}\le 10\},\qquad 0\le x\le 100,$$

поэтому $$l(X)=100.$$

1. Пусть $$A=\{x:\sqrt{x}\le 1\}.$$ Тогда

   $$0\le x\le 1,$$

   значит, $$l(A)=1.$$ Следовательно,

   $$P(A)=\frac{l(A)}{l(X)}=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

2. Пусть $$A=\{x:\ln(40x-39-x^2)\text{ определён}\}.$$ Тогда

   $$40x-39-x^2>0,$$

   $$x^2-40x+39<0,$$

   $$x^2-40x+39=(x-1)(x-39).$$

   Отсюда

   $$1<x<39,$$

   значит, $$l(A)=39-1=38.$$ Тогда

   $$P(A)=\frac{38}{100}=0{,}38.$$

3. Решим неравенство

   $$\sqrt{x-10}\le 5.$$

   С учётом области определения имеем

   $$x-10\ge 0,\qquad x-10\le 25.$$

   Следовательно,

   $$10\le x\le 35,$$

   то есть $$l(A)=35-10=25.$$ Тогда

   $$P(A)=\frac{25}{100}=0{,}25.$$

4. Так как

   $$-1\le \sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 1,$$

   то

   $$-0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 0{,}5,$$

   а значит,

   $$0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1\le 1{,}5.$$

   Следовательно, $$l(A)=1{,}5-0{,}5=1.$$ Тогда

   $$P(A)=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Ответ: а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}38$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}01$$.