Упр.22.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Числа $$p$$ и $$q$$ произвольно выбирают из отрезка $$[0;1]$$. Какова вероятность того, что у приведённого квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$:
а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный);
б) нет действительных корней;
в) есть два различных действительных корня;
г) есть хотя бы один положительный корень?

Подробный ответ

Так как $$p\in[0;1]$$ и $$q\in[0;1]$$, все возможные пары $$\left(p,q\right)$$ заполняют квадрат площади $$1$$ на координатной плоскости.

Уравнение $$x^2+px+q=0$$ всегда имеет хотя бы один корень, если считать комплексные корни. Поэтому
$$P=1.$$
Нет действительных корней тогда и только тогда, когда дискриминант отрицателен:
$$D=p^2-4q<0 \quad \Longleftrightarrow \quad q>\frac{p^2}{4}.$$
Найдём площадь этой части квадрата:
$$S=\int_0^1\left(1-\frac{p^2}{4}\right)\,dp=\left(p-\frac{p^3}{12}\right)\Bigg|_0^1=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}.$$
Так как площадь всего квадрата равна $$1$$, получаем
$$P=\frac{11}{12}.$$
Два различных действительных корня бывают при
$$D=p^2-4q>0 \quad \Longleftrightarrow \quad q<\frac{p^2}{4}.$$
Тогда искомая вероятность равна площади области под параболой внутри квадрата:
$$S=\int_0^1\frac{p^2}{4}\,dp=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}.$$
Следовательно,
$$P=\frac{1}{12}.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
Чтобы у уравнения был хотя бы один положительный корень, при $$q\ge 0$$ нужно, чтобы корни имели разные знаки или оба были положительными. Но если оба корня положительные, то $$x_1+x_2>0$$, а значит $$-p>0$$, то есть $$p<0$$, что невозможно, так как $$p\in[0;1]$$.
Если корни разных знаков, то $$x_1x_2<0$$, но здесь $$q\ge 0$$. Значит, положительного корня быть не может.
Следовательно,
$$P=0.$$