Упр.22.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Случайным образом на координатной плоскости $$xOy$$ выбирают точку $$P(x; y)$$, $$0 \leq x \leq 4$$, $$0 \leq y \leq 2$$. Отрезок $$OP$$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника: а) больше 9; в) меньше 2; б) меньше 10; г) больше 4?

Площадь прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, равна $$S=xy.$$

Точка $$P(x;y)$$ выбирается в прямоугольнике $$0\le x\le 4,\quad 0\le y\le 2,$$ поэтому общая площадь всех возможных положений точки равна $$4\cdot 2=8.$$

а) Площадь больше 9

Нужно, чтобы $$xy>9.$$ Но при $$0\le x\le 4$$ и $$0\le y\le 2$$ имеем $$xy\le 4\cdot 2=8.$$

Следовательно, такое событие невозможно, и его вероятность равна $$0.$$

б) Площадь меньше 10

Так как $$xy\le 8<10,$$ то площадь прямоугольника всегда меньше $$10.$$

Значит, вероятность равна $$1.$$

в) Площадь меньше 2

Нужно найти вероятность события $$xy<2,$$ то есть $$y<\frac{2}{x}.$$

Кривая $$y=\frac{2}{x}$$ пересекает границы прямоугольника в точках $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(4;0{,}5\right).$$

Площадь области, где $$xy<2,$$ равна

$$S=\int_0^1 2\,dx+\int_1^4 \frac{2}{x}\,dx =2+\left.2\ln x\right|_1^4 =2+2\ln 4.$$

Тогда вероятность

$$P=\frac{S}{8}=\frac{2+2\ln 4}{8}=\frac{1+\ln 4}{4}.$$

г) Площадь больше 4

Нужно, чтобы $$xy>4,$$ то есть $$y>\frac{4}{x}.$$

Кривая $$y=\frac{4}{x}$$ пересекает границы прямоугольника в точках $$\left(2;2\right)$$ и $$\left(4;1\right).$$

Площадь области, где $$xy>4,$$ равна

$$S=\int_2^4 \left(2-\frac{4}{x}\right)\,dx =\left(2x-4\ln x\right)\Big|_2^4 =4-4\ln 2.$$

Тогда вероятность

$$P=\frac{S}{8}=\frac{4-4\ln 2}{8}=\frac{1-\ln 2}{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$\frac{1+\ln 4}{4}$$; г) $$\frac{1-\ln 2}{2}$$.