Упр.22.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет: а) больше $$0{,}34$$; б) больше $$0{,}25$$; в) меньше $$0{,}32$$; г) меньше $$0{,}5$$?

Подробный ответ

Обозначим длины двух первых отрезков через $$x$$ и $$y$$. Тогда длина третьего отрезка равна $$1-x-y$$, причём $$x>0$$, $$y>0$$, $$x+y<1$$.

а) Если каждый отрезок больше $$0{,}34$$, то сумма трёх отрезков была бы больше

$$0{,}34+0{,}34+0{,}34=1{,}02>1.$$

Такого быть не может, значит вероятность равна $$0$$.

б) Требуется, чтобы

$$x>0{,}25,\quad y>0{,}25,\quad 1-x-y>0{,}25.$$

Последнее неравенство равносильно

$$x+y<0{,}75.$$

На плоскости $$xy$$ это треугольник, подобный исходному треугольнику $$x>0,\ y>0,\ x+y<1$$. Его коэффициент подобия равен $$0{,}75-0{,}25=0{,}5$$, поэтому отношение площадей равно

$$0{,}5^2=\frac14.$$

Но нужно ещё учесть, что область задаётся сдвигом от прямых $$x=0{,}25$$ и $$y=0{,}25$$, поэтому искомая вероятность равна

$$\left(\frac12-\frac14\right)^2=\frac1{16}$$

относительно половины исходной области, то есть

$$P=\frac1{16}\cdot 2=\frac1{32}=0{,}0625.$$

в) Если каждый отрезок меньше $$0{,}32$$, то сумма трёх отрезков была бы меньше

$$0{,}32+0{,}32+0{,}32=0{,}96<1.$$

Это невозможно, значит вероятность равна $$0$$.

г) Требуется, чтобы

$$x<0{,}5,\quad y<0{,}5,\quad 1-x-y<0{,}5.$$

Последнее неравенство даёт

$$x+y>0{,}5.$$

Искомая область — часть исходного треугольника, лежащая ниже прямых $$x=0{,}5$$ и $$y=0{,}5$$ и выше прямой $$x+y=0{,}5$$. Она составляет четверть площади всего треугольника, значит

$$P=\frac14=0{,}25.$$