Упр.22.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$1 \le |x-3| \le 5$$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) $$|x| \le 2$$; в) $$|x| \le 1$$; б) $$|x-6| \le 2$$; г) $$1 \le |x-6| \le 2$$.

Решим неравенство $$1 \le |x-3| \le 5.$$

Оно равносильно объединению двух промежутков:

$$\begin{aligned} &x \ge 3:\quad 1 \le x-3 \le 5 \Rightarrow 4 \le x \le 8,\\ &x < 3:\quad 1 \le 3-x \le 5 \Rightarrow -2 \le x \le 2. \end{aligned}$$

Значит, множество всех решений:

$$x \in [-2;2] \cup [4;8].$$

Ответ

1. $$|x| \le 2 \Rightarrow x \in [-2;2].$$

   Подходящая часть имеет длину $$2-(-2)=4,$$ а всё множество решений — $$8-4+2-(-2)=8.$$

   $$P=\frac{4}{8}=\frac12=0{,}5.$$

2. $$|x-6| \le 2 \Rightarrow x \in [4;8].$$

   $$P=\frac{8-4}{8}=\frac12=0{,}5.$$

3. $$|x| \le 1 \Rightarrow x \in [-1;1].$$

   Длина подходящей части равна $$1-(-1)=2,$$ поэтому

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

4. $$1 \le |x-6| \le 2.$$

   Тогда

   $$\begin{aligned} &x \ge 6:\quad 1 \le x-6 \le 2 \Rightarrow 7 \le x \le 8,\\ &x < 6:\quad 1 \le 6-x \le 2 \Rightarrow 4 \le x \le 5. \end{aligned}$$

   Подходящая часть имеет длину $$(8-7)+(5-4)=2,$$ значит

   $$P=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$