Упр.22.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Случайным образом на координатной плоскости $$xOy$$ выбирают точку $$P(x; y)$$, $$0 \leq x \leq 4$$, $$0 \leq y \leq 2$$. Отрезок $$OP$$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника: а) больше 20; в) меньше 4; б) не больше 12; г) больше 10?

Периметр прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, равен

$$P=2x+2y=2(x+y).$$

Точка $$P(x;y)$$ выбирается в прямоугольнике $$0\le x\le 4,\;0\le y\le 2,$$ его площадь равна

$$S_{\text{общ}}=4\cdot 2=8.$$

1. а) $$P>20$$

   $$2(x+y)>20 \;\Rightarrow\; x+y>10.$$

   Но в области выбора $$x\le 4,\; y\le 2,$$ значит $$x+y\le 6.$$

   Таких точек нет, поэтому

   $$\mathsf{P}=0.$$

2. б) $$P\le 12$$

   $$2(x+y)\le 12 \;\Rightarrow\; x+y\le 6.$$

   Это выполняется для всех точек области $$0\le x\le 4,\;0\le y\le 2,$$ так как $$x+y\le 6.$$

   Следовательно,

   $$\mathsf{P}=1.$$

3. в) $$P<4$$

   $$2(x+y)<4 \;\Rightarrow\; x+y<2 \;\Rightarrow\; y<2-x.$$

   Это треугольник с вершинами $$O(0,0),\; A(2,0),\; B(0,2).$$ Его площадь:

   $$S=\frac12\cdot 2\cdot 2=2.$$

   Тогда вероятность равна

   $$\mathsf{P}=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25.$$

4. г) $$P>10$$

   $$2(x+y)>10 \;\Rightarrow\; x+y>5 \;\Rightarrow\; y>5-x.$$

   Внутри прямоугольника это треугольник с вершинами $$A(3,2),\; B(4,2),\; C(4,1).$$ Его площадь:

   $$S=\frac12\cdot 1\cdot 1=\frac12.$$

   Тогда

   $$\mathsf{P}=\frac{1/2}{8}=\frac{1}{16}=0{,}0625.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}0625$$.