Упр.22.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите значение параметра $$a$$, если известно, что вероятность указанного события равна $$0{,}5$$:
а) точка фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2$$, осью абсцисс и прямой $$x=1$$, лежит левее прямой $$x=a$$;
б) точка фигуры, ограниченной графиком функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, осью абсцисс и прямыми $$x=1$$, $$x=2$$, лежит ниже прямой $$y=a$$;
в) точка фигуры, ограниченной гиперболой $$y=\frac{1}{x}$$, осью абсцисс и прямыми $$x=1$$, $$x=2$$, лежит левее прямой $$x=a$$;
г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой $$y=2$$ и графиком функции $$y=|x-1|$$, лежит правее прямой $$x=a$$.
а) Обозначим через $$S$$ площадь всей фигуры, а через $$S(a)$$ — площадь части фигуры, лежащей левее прямой $$x=a$$. Тогда
$$S=\int\limits_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13,$$
$$S(a)=\int\limits_0^a x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^a=\frac{a^3}{3}.$$
По условию вероятность равна $$0{,}5$$, значит
$$\frac{S(a)}{S}=0{,}5,$$
$$\frac{a^3/3}{1/3}=0{,}5,$$
$$a^3=0{,}5,$$
$$a=\sqrt[3]{0{,}5}=2^{-\frac13}.$$
б) Найдём площадь всей фигуры:
$$S=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x^2}=\left.-\frac1x\right|_1^2=\frac12.$$
Пусть прямая $$y=a$$ делит фигуру так, что нужная часть лежит ниже этой прямой. Тогда точка пересечения с графиком $$y=\frac1{x^2}$$ имеет абсциссу $$x=\frac1{\sqrt a}$$, и
$$S(a)=\int\limits_1^{1/\sqrt a} a\,dx+\int\limits_{1/\sqrt a}^2 \frac{dx}{x^2}.$$
Вычислим:
$$S(a)=a\left(\frac1{\sqrt a}-1\right)+\left.-\frac1x\right|_{1/\sqrt a}^2$$
$$S(a)=\sqrt a-a-\frac12+\sqrt a=2\sqrt a-a-\frac12.$$
По условию $$S(a)=0{,}5S=\frac14$$, значит
$$2\sqrt a-a-\frac12=\frac14,$$
$$2\sqrt a-a=\frac34.$$
Положим $$t=\sqrt a$$. Тогда
$$2t-t^2=\frac34,$$
$$t^2-2t+\frac34=0,$$
$$D=4-3=1,$$
$$t=\frac{2\pm1}{2}.$$
Подходит $$t=\frac12$$, так как $$a\le 1$$. Тогда
$$a=t^2=\frac14=0{,}25.$$
в) Найдём площадь всей фигуры:
$$S=\int\limits_1^2 \frac{dx}{x}=\ln 2.$$
Тогда
$$S(a)=\int\limits_1^a \frac{dx}{x}=\ln a.$$
По условию
$$\frac{S(a)}{S}=0{,}5,$$
$$\frac{\ln a}{\ln 2}=0{,}5,$$
$$\ln a=\frac12\ln 2,$$
$$a=\sqrt2.$$
г) Фигура ограничена осью $$Oy$$, прямой $$y=2$$ и графиком $$y=|x-1|$$. Найдём её площадь:
$$S=\int\limits_0^1 \bigl(2-(1-x)\bigr)\,dx+\int\limits_1^3 \bigl(2-(x-1)\bigr)\,dx.$$
$$S=\int\limits_0^1 (1+x)\,dx+\int\limits_1^3 (3-x)\,dx$$
$$S=\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1+\left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_1^3$$
$$S=\left(1+\frac12\right)+\left(9-\frac92-3+\frac12\right)=\frac72.$$
Пусть прямая $$x=a$$ делит фигуру так, что правая часть составляет половину площади. Тогда
$$\int\limits_a^3 (3-x)\,dx=\frac12S=\frac74.$$
$$\left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_a^3=\frac74,$$
$$\frac92-3a+\frac{a^2}{2}=\frac74,$$
$$2a^2-12a+11=0.$$
$$D=144-88=56,$$
$$a=\frac{12\pm\sqrt{56}}{4}=3\pm\sqrt{3{,}5}.$$
Так как нужна прямая, лежащая внутри фигуры, получаем
$$a=3-\sqrt{3{,}5}.$$
Ответ
а) $$2^{-\frac13}$$; б) $$0{,}25$$; в) $$\sqrt2$$; г) $$3-\sqrt{3{,}5}$$.
