Упр.22.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Под аркой синусоиды $$y=\sin x$$, $$0\leq x\leq\pi$$ случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит: а) выше прямой $$y=\sqrt{2}$$; б) левее прямой $$x=\frac{\pi}{3}$$; в) ниже прямой $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; г) правее прямой $$x=\frac{3\pi}{4}$$.

Площадь фигуры под графиком $$y=\sin x$$ на отрезке $$0\le x\le \pi$$ равна

$$S=\int\limits_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=2.$$

1. Выше прямой $$y=\sqrt2$$ точек нет, так как для $$y=\sin x$$ на данном промежутке $$\sin x\le 1<\sqrt2$$. Поэтому

   $$P=0.$$

2. Левее прямой $$x=\dfrac{\pi}{3}$$ находится часть фигуры с площадью

   $$S_1=\int\limits_0^{\pi/3}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi/3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos0=\dfrac12.$$

   Тогда вероятность

   $$P=\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{1/2}{2}=\dfrac14.$$

3. Ниже прямой $$y=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ лежит часть фигуры, где $$\sin x\ge \dfrac{\sqrt3}{2}$$. Это на отрезке

   $$x\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right].$$

   Площадь этой части:

   $$S_2=\int\limits_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{\pi/3}^{2\pi/3}=-\cos\dfrac{2\pi}{3}+\cos\dfrac{\pi}{3}=1.$$

   Тогда

   $$P=\dfrac{S_2}{S}=\dfrac{1}{2}.$$

4. Правее прямой $$x=\dfrac{3\pi}{4}$$ находится часть фигуры с площадью

   $$S_3=\int\limits_{3\pi/4}^{\pi}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{3\pi/4}^{\pi}=-\cos\pi+\cos\dfrac{3\pi}{4}=1-\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{2-\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$P=\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{(2-\sqrt2)/2}{2}=\dfrac{2-\sqrt2}{4}.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$\dfrac14$$; в) $$\dfrac12$$; г) $$\dfrac{2-\sqrt2}{4}$$.