Упр.22.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции $$y=e^x$$, осью ординат и прямой $$y=e$$. Найдите вероятность того, что она лежит: а) в первой координатной четверти; б) правее прямой $$x=1$$; в) правее прямой $$x=0{,}5$$; г) ниже прямой $$y=\sqrt{e}$$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=e^x$$, осью ординат и прямой $$y=e$$, равна

$$S=\int_0^1 (e-e^x)\,dx=(ex-e^x)\Big|_0^1=(e-e)-(0-1)=1.$$

1. В первой координатной четверти лежит вся фигура, поэтому

   $$P=1.$$

2. Правее прямой $$x=1$$ точек фигуры нет, значит

   $$P=0.$$

3. Правее прямой $$x=0{,}5$$ находится часть фигуры при $$x\in[0{,}5;1]$$:

   $$S_1=\int_{0{,}5}^1 (e-e^x)\,dx=(ex-e^x)\Big|_{0{,}5}^1 =1-\left(0{,}5e-\sqrt e\right)=\sqrt e-0{,}5e.$$

   Тогда

   $$P=\frac{S_1}{S}=\sqrt e-0{,}5e.$$

4. Ниже прямой $$y=\sqrt e$$ лежит часть фигуры при $$x\in[0;0{,}5]$$:

   $$S_2=\int_0^{0{,}5} (\sqrt e-e^x)\,dx=(x\sqrt e-e^x)\Big|_0^{0{,}5} =0{,}5\sqrt e-\left(\sqrt e-1\right)=1-0{,}5\sqrt e.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{S_2}{S}=1-0{,}5\sqrt e.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$\sqrt e-0{,}5e$$; г) $$1-0{,}5\sqrt e$$.