Упр.22.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2$$, осью абсцисс и прямой $$x=3$$. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой $$x=1$$; в) правее прямой $$x=2$$; б) выше прямой $$y=4$$; г) ниже прямой $$y=1$$.
Площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2$$, осью абсцисс и прямой $$x=3$$, равна
$$S=\int\limits_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$
Вероятность равна отношению площади нужной части фигуры к общей площади.
Левее прямой $$x=1$$:
$$S_1=\int\limits_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13,$$
$$P_1=\frac{S_1}{S}=\frac{1/3}{9}=\frac{1}{27}.$$
Выше прямой $$y=4$$:
Найдём точки пересечения с параболой: $$x^2=4,\; x=2$$ (в пределах фигуры подходит только $$x=2$$).
Тогда
$$S_2=\int\limits_2^3 (x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3=\frac73,$$
$$P_2=\frac{S_2}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$
Правее прямой $$x=2$$:
$$S_3=\int\limits_2^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_2^3=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3},$$
$$P_3=\frac{S_3}{S}=\frac{19/3}{9}=\frac{19}{27}.$$
Ниже прямой $$y=1$$:
Точки пересечения с параболой: $$x^2=1,\; x=\pm1.$$ В нашей фигуре учитываются отрезки $$[0,1]$$ и $$[1,3]$$.
Площадь части ниже прямой $$y=1$$:
$$S_4=\int\limits_0^1 x^2\,dx+\int\limits_1^3 1\,dx=\frac13+2=\frac73,$$
$$P_4=\frac{S_4}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$
Ответ: а) $$\frac{1}{27}$$; б) $$\frac{7}{27}$$; в) $$\frac{19}{27}$$; г) $$\frac{7}{27}$$.
