Упр.22.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На координатной плоскости даны точки $$A(0; 3)$$, $$B(4; 6)$$, $$C(6; 0)$$. В треугольнике $$ABC$$ случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ниже прямой $$y=3$$; б) правее прямой $$x=4$$; в) ближе к прямой $$AC$$, чем к прямой $$AB$$; г) ближе к прямой $$AC$$, чем к прямой $$BC$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ найдём по координатам вершин:

$$S_{ABC}=36-\frac12\cdot 3\cdot 6-\frac12\cdot 3\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 6=36-9-6-6=15.$$

Ход решения

1. Ниже прямой $$y=3$$ лежит часть треугольника $$ABC$$, которая является треугольником с основанием $$BC$$ и высотой, равной половине высоты всего треугольника. Поэтому

   $$P=\frac{S}{S_{ABC}}=\frac12.$$

2. Правее прямой $$x=4$$ лежит треугольник с вершинами $$B$$, $$C$$ и точкой пересечения прямой $$x=4$$ со стороной $$AC$$. Так как эта точка делит сторону $$AC$$ в отношении $$AE:EC=2:4=1:2$$, то площадь нужной части составляет треть площади всего треугольника:

   $$P=\frac13.$$

3. Множество точек, равноудалённых от прямых $$AC$$ и $$AB$$, — биссектриса угла $$A$$. Точки, которые ближе к прямой $$AC$$, чем к прямой $$AB$$, образуют треугольник с вершиной $$A$$ и основанием на стороне $$BC$$.

   По теореме о биссектрисе:

   $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

   Найдём длины сторон:

   $$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5,\qquad AC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5.$$

   Тогда

   $$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{3}.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{1+\frac{BD}{DC}}=\frac{1}{1+\frac{\sqrt5}{3}}=\frac{3}{\sqrt5+3}.$$

4. Аналогично, точки, ближе к прямой $$AC$$, чем к прямой $$BC$$, лежат по другую сторону биссектрисы угла $$C$$. По теореме о биссектрисе:

   $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

   Так как

   $$CB=\sqrt{(6-4)^2+(0-6)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10},$$

   то

   $$\frac{AD}{DB}=\frac{3\sqrt5}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt2}{4}.$$

   Тогда искомая вероятность равна

   $$P=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{1+\frac{DB}{AD}}=\frac{1}{1+\frac{4}{3\sqrt2}}=\frac{3}{2\sqrt2+3}.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac{3}{\sqrt5+3}$$; г) $$\frac{3}{2\sqrt2+3}$$.