Упр.22.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Случайным образом выбирают два решения — $$x_1$$ и $$x_2$$ — неравенства $$|x-2|\le 2$$ и точку $$(x_1;x_2)$$ отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что:
- а) оба решения не больше $$2$$; б) хотя бы одно из решений не больше $$2$$; в) сумма этих решений больше $$3$$; г) $$x_1$$ и $$x_2$$ отличаются друг от друга (по модулю) не более чем на $$1$$.
Решим неравенство:
$$|x-2|\le 2 \iff -2\le x-2\le 2 \iff 0\le x\le 4.$$
Значит, каждое из чисел $$x_1$$ и $$x_2$$ равновероятно выбирается из отрезка $$[0;4]$$, а все точки $$\left(x_1;x_2\right)$$ заполняют квадрат со стороной $$4$$. Его площадь равна $$16$$.
Ход решения
Оба решения не больше $$2$$:
$$0\le x_1\le 2,\quad 0\le x_2\le 2.$$
Это квадрат со стороной $$2$$, его площадь равна $$4$$. Тогда
$$P=\frac{4}{16}=\frac14=0{,}25.$$
Хотя бы одно из решений не больше $$2$$:
Удобнее найти дополнение: оба решения больше $$2$$.
$$2\le x_1\le 4,\quad 2\le x_2\le 4.$$
Это квадрат со стороной $$2$$, его площадь равна $$4$$. Тогда
$$P=1-\frac{4}{16}=1-\frac14=\frac34=0{,}75.$$
Сумма этих решений больше $$3$$:
Рассмотрим на квадрате $$[0;4]\times[0;4]$$ прямую $$x_1+x_2=3$$. Ниже неё лежат точки, для которых $$x_1+x_2<3$$.
Площадь треугольника с вершинами $$\left(0;0\right)$$, $$\left(3;0\right)$$, $$\left(0;3\right)$$ равна
$$S_{\triangle}=\frac12\cdot 3\cdot 3=\frac92.$$
Тогда искомая площадь:
$$S=16-\frac92=\frac{23}{2}.$$
Следовательно,
$$P=\frac{23/2}{16}=\frac{23}{32}.$$
Числа $$x_1$$ и $$x_2$$ отличаются друг от друга не более чем на $$1$$:
$$|x_1-x_2|\le 1.$$
Это полоса между прямыми
$$x_2=x_1-1 \quad \text{и} \quad x_2=x_1+1.$$
Внутри квадрата $$[0;4]\times[0;4]$$ вне этой полосы остаются два равных прямоугольных треугольника с катетами $$3$$ и $$3$$. Их суммарная площадь равна
$$2\cdot \frac12\cdot 3\cdot 3=9.$$
Тогда площадь нужной области:
$$16-9=7,$$
и вероятность равна
$$P=\frac{7}{16}.$$
Ответ
а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}75$$; в) $$\frac{23}{32}$$; г) $$\frac{7}{16}$$.
