Упр.22.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Из отрезка $$[-1; 1]$$ произвольно выбирают два числа — $$x$$ и $$y$$ — и на координатной плоскости отмечают точку $$(x; y)$$. Какова вероятность того, что: а) эта точка лежит в первой координатной четверти; б) $$x+y<0$$; в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти; г) $$x+y>0$$, а $$xy<0$$?

Так как числа $$x$$ и $$y$$ выбирают независимо и равновероятно из отрезка $$[-1;1]$$, все точки квадрата $$[-1;1]\times[-1;1]$$ равновозможны. Поэтому вероятность равна отношению площади нужной области к площади всего квадрата.

1. Точка лежит в первой четверти, если $$x>0$$ и $$y>0$$. Это квадрат со стороной $$1$$, его площадь равна $$1$$.

   Площадь всего квадрата: $$2\cdot 2=4$$.

   $$P=\frac{1}{4}=0{,}25.$$

2. Неравенство $$x+y<0$$ равносильно $$y<-x$$. В квадрате $$[-1;1]\times[-1;1]$$ это одна из двух равных частей, на которые диагональ $$y=-x$$ делит квадрат.

   Следовательно,

   $$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

3. Точка лежит во второй или в четвертой четверти. Каждая из этих четвертей составляет четверть всего квадрата.

   Тогда

   $$P=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

4. Условия $$x+y>0$$ и $$xy<0$$ означают, что числа $$x$$ и $$y$$ разных знаков, а сумма положительна. Это возможно только во второй четверти: $$x<0$$, $$y>0$$ и $$y>-x$$.

   Искомая область — половина второй четверти, значит ее площадь равна $$\frac{1}{2}$$.

   Тогда

   $$P=\frac{1/2}{4}=\frac{1}{8}=0{,}125.$$

Ответ: а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}125$$.