Упр.22.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Коэффициенты $$a$$ и $$b$$ в уравнении прямой $$y=ax+b$$ случайным образом выбираются из множества $$\{-5,-4,\ldots,-1,0,1,\ldots,4,5\}$$. Найдите вероятность того, что эта прямая:
   а) пересекает ось ординат;
   б) пересекает только две координатные четверти;
   в) не пересекает ось абсцисс;
   г) не пересекает вторую координатную четверть.
   Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти.

Всего возможных пар коэффициентов $$a$$ и $$b$$:

$$N=11\cdot 11=121.$$

а) Прямая пересекает ось ординат

Любая прямая вида $$y=ax+b$$ пересекает ось ординат в точке $$\left(0;b\right)$$. Значит, это событие достоверное:

$$P=1.$$

б) Прямая пересекает только две координатные четверти

Это возможно в двух случаях:

• $$a=0,\ b\ne 0$$ — горизонтальная прямая;
• $$b=0,\ a\ne 0$$ — прямая проходит через начало координат.

В первом случае $$10$$ вариантов для $$b$$, во втором — $$10$$ вариантов для $$a$$. Итого:

$$M=10+10=20.$$

Тогда

$$P=\frac{20}{121}.$$

в) Прямая не пересекает ось абсцисс

Ось абсцисс не пересекают только горизонтальные прямые $$y=b$$ при $$a=0$$ и $$b\ne 0$$. Таких прямых $$10$$:

$$P=\frac{10}{121}.$$

г) Прямая не пересекает вторую координатную четверть

Прямая $$y=ax+b$$ не пересекает вторую четверть в следующих случаях:

• $$a=0,\ b\le 0$$ — горизонтальная прямая не попадает во II четверть;
• $$a>0,\ b\le 0$$ — прямая возрастает и не может попасть во II четверть.

Считаем количество подходящих пар:

• при $$a>0$$ есть $$5$$ вариантов для $$a$$ и $$6$$ вариантов для $$b\le 0$$, всего $$5\cdot 6=30$$;
• при $$a=0$$ и $$b\le 0$$ есть $$6$$ вариантов, но случай $$b=0$$ уже входит в предыдущий подсчёт при $$a>0$$ не входит, поэтому здесь берём только $$b<0$$: $$5$$ вариантов.

Итого:

$$M=30+6=36.$$

Следовательно,

$$P=\frac{36}{121}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{20}{121}$$; в) $$\frac{10}{121}$$; г) $$\frac{36}{121}$$.