Упр.22.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На оси ординат случайным образом выбирают точку $$C(0; y)$$, $$0 \leq y \leq 8$$, и соединяют её с фиксированной точкой $$A(4; 4)$$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $$AC$$ к положительному направлению оси ординат: а) тупой; б) меньше $$45^\circ$$; в) острый; г) больше $$60^\circ$$?

Пусть точка $$C(0;y)$$ выбирается на оси ординат, где $$0 \le y \le 8$$. Тогда длина всего отрезка выбора равна $$8$$.

Найдём, при каких значениях $$y$$ угол наклона отрезка $$AC$$ к положительному направлению оси ординат удовлетворяет каждому условию.

а) Угол тупой

Угол между отрезком и положительным направлением оси ординат будет тупым тогда и только тогда, когда точка $$C$$ лежит выше точки $$A$$, то есть $$y>4$$.

Подходящий промежуток: $$4<y\le 8$$.

Тогда

$$P=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

б) Угол меньше $$45^\circ$$

Если угол меньше $$45^\circ$$, то точка $$C$$ должна лежать ниже точки $$A$$, то есть $$y<4$$, но при этом угол отсчитывается от положительного направления оси ординат, и для данных значений $$y$$ таких точек нет.

Следовательно,

$$P=0.$$

в) Угол острый

Острый угол получается при $$0<y<4$$.

Длина подходящего промежутка равна $$4$$, значит

$$P=\frac{4}{8}=\frac12.$$

г) Угол больше $$60^\circ$$

Для угла между отрезком и положительным направлением оси ординат больше $$60^\circ$$ получаем условие

$$\tan \alpha>\sqrt{3}.$$

Так как

$$\tan \alpha=\frac{4}{4-y},$$

то при $$y>4$$ имеем

$$\frac{4}{y-4}>\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$4>\sqrt{3}(y-4),$$

$$y<4+\frac{4}{\sqrt{3}}=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Значит, нужные значения $$y$$ лежат в промежутке

$$4<y<4+\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Его длина равна

$$\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$P=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$0$$; в) $$\frac12$$; г) $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$.