Упр.21.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Вычислите интеграл:
- а) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x\,dx$$;
- в) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x\,dx$$;
- б) $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos^2\frac{x}{2}\,dx$$;
- г) $$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(3x)\,dx$$.
а) Используем формулу произведения в сумму:
$$\sin 2x\cos 3x=\frac12\bigl(\sin(2x+3x)+\sin(2x-3x)\bigr)=\frac12(\sin 5x-\sin x).$$
Тогда
$$\int\limits_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx =\frac12\int\limits_0^{\pi/2}(\sin 5x-\sin x)\,dx =\left(-\frac1{10}\cos 5x+\frac12\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$
$$\left(-\frac1{10}\cos\frac{5\pi}{2}+\frac12\cos\frac{\pi}{2}\right) -\left(-\frac1{10}\cos 0+\frac12\cos 0\right) =0-\left(-\frac1{10}+\frac12\right) =-\frac25.$$
б) Применим формулу понижения степени:
$$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.$$
Тогда
$$\int\limits_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_{\pi/4}^{\pi}(1+\cos x)\,dx =\left(\frac{x}{2}+\frac12\sin x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{\pi}.$$
$$\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\pi\right) -\left(\frac{\pi}{8}+\frac12\sin\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4} =\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}.$$
в) Используем формулу произведения в сумму:
$$\cos 7x\cos 5x=\frac12\bigl(\cos(7x-5x)+\cos(7x+5x)\bigr)=\frac12(\cos 2x+\cos 12x).$$
Тогда
$$\int\limits_0^{\pi/3}\cos 7x\cos 5x\,dx =\frac12\int\limits_0^{\pi/3}(\cos 2x+\cos 12x)\,dx =\left(\frac14\sin 2x+\frac1{24}\sin 12x\right)\Bigg|_0^{\pi/3}.$$
$$\frac14\sin\frac{2\pi}{3}+\frac1{24}\sin 4\pi =\frac14\cdot\frac{\sqrt3}{2}+0 =\frac{\sqrt3}{8}.$$
г) Используем формулу понижения степени:
$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$
Тогда
$$\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx =\frac12\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1-\cos 6x)\,dx =\left(\frac{x}{2}-\frac1{12}\sin 6x\right)\Bigg|_{-\pi}^{\pi}.$$
$$\left(\frac{\pi}{2}-\frac1{12}\sin 6\pi\right) -\left(-\frac{\pi}{2}-\frac1{12}\sin(-6\pi)\right) =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} =\pi.$$
Ответ: а) $$-\frac25$$; б) $$\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt3}{8}$$; г) $$\pi$$.
