Упр.21.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x\,dx$$; б) $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx$$; в) $$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin\left(\frac{x}{3}\right)\,dx$$; г) $$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2(3x)}\,dx$$.

Вычислим интегралы по формуле первообразной.

1. $$\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx=\left(\frac12\sin 2x\right)\Bigg|_{-\pi/4}^{\pi/2}$$

   $$=\frac12\sin\pi-\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0-\frac12(-1)=\frac12.$$

2. $$\int\limits_{0}^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx=\left(-5\ctg\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\Bigg|_{0}^{\pi/3}$$

   $$=-5\ctg\frac{2\pi}{3}+5\ctg\frac{\pi}{3}=5\ctg\frac{\pi}{3}+5\ctg\frac{\pi}{3}=10\ctg\frac{\pi}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}.$$

3. $$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\,dx=\left(-6\cos\frac{x}{3}\right)\Bigg|_{\pi/2}^{\pi}$$

   $$=-6\cos\frac{\pi}{3}+6\cos\frac{\pi}{6}=-6\cdot\frac12+6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3(\sqrt3-1).$$

4. $$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{7}{\cos^2 3x}\,dx=\left(\frac73\tg 3x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{\pi/3}$$

   $$=\frac73\tg\pi-\frac73\tg\frac{3\pi}{4}=0-\frac73(-1)=\frac73.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac{10\sqrt3}{3}$$; в) $$3(\sqrt3-1)$$; г) $$\frac73$$.