Упр.21.77 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что площадь $$S$$ криволинейной трапеции, ограниченной параболой $$y=ax^2+bx+c$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=B$$, $$a>B$$, $$y=0$$, можно найти по формуле $$S=\frac{B-a}{6}\left(y(a)+y(B)+4y\left(\frac{a+B}{2}\right)\right)$$ (формула Симпсона).

Площадь искомой криволинейной трапеции равна

$$S=\int_{\alpha}^{\beta}(ax^2+bx+c)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S=\left(\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx\right)\Bigg|_{\alpha}^{\beta} =\frac{a(\beta^3-\alpha^3)}{3}+\frac{b(\beta^2-\alpha^2)}{2}+c(\beta-\alpha).$$

Вынесем $$\beta-\alpha$$:

$$S=(\beta-\alpha)\left(\frac{a(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)}{3}+\frac{b(\beta+\alpha)}{2}+c\right) =\frac{\beta-\alpha}{6}\bigl(2a(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3b(\alpha+\beta)+6c\bigr).$$

Теперь преобразуем правую часть формулы Симпсона:

$$y(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c,\qquad y(\beta)=a\beta^2+b\beta+c,$$

$$y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) =a\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c.$$

Тогда

$$\begin{aligned} y(\alpha)+y(\beta)+4y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) &=a\alpha^2+b\alpha+c+a\beta^2+b\beta+c \\ &\quad +4\left(a\frac{(\alpha+\beta)^2}{4}+b\frac{\alpha+\beta}{2}+c\right) \\ &=2a(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3b(\alpha+\beta)+6c. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$S=\frac{\beta-\alpha}{6}\left(y(\alpha)+y(\beta)+4y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right).$$

Ответ: формула Симпсона доказана.