Упр.21.76 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каком положительном значении параметра $$a$$ площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=0$$, $$x=1$$, $$x=a$$, равна $$\frac{7}{8}$$?
   б) При каком отрицательном значении параметра $$a$$ площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=a$$, равна $$\frac{10}{11}$$?

а) Площадь фигуры равна

$$S=\int_{1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx=\int_{1}^{a}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{a}=1-\frac{1}{a}.$$

По условию

$$1-\frac{1}{a}=\frac{7}{8},$$

откуда

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{8}, \qquad a=8.$$

б) Здесь

$$S=\int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a}=-\frac{1}{a}-1.$$

По условию

$$-\frac{1}{a}-1=\frac{10}{11},$$

откуда

$$-\frac{1}{a}=\frac{21}{11}, \qquad a=-\frac{11}{21}.$$

Ответ: а) $$8$$; б) $$-\frac{11}{21}$$.