Упр.21.75 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-6x^2+9x+1$$ и касательной к нему в точке $$x=3$$.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-3x$$ и касательной к нему в точке $$x=-1$$.
а) $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1,\quad a=3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-12x+9.$$
Тогда
$$f'(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+9=27-36+9=0,$$
значит, касательная горизонтальна. Найдём её уравнение:
$$f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+1=27-54+27+1=1,$$
поэтому касательная имеет вид $$y=1.$$
Точки пересечения графика функции с касательной найдём из уравнения
$$x^3-6x^2+9x+1=1,$$
$$x^3-6x^2+9x=0,$$
$$x(x-3)^2=0.$$
Отсюда $$x=0$$ и $$x=3.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_0^3\bigl(x^3-6x^2+9x+1-1\bigr)\,dx=\int\limits_0^3(x^3-6x^2+9x)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3 =\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2} =\frac{27}{4}.$$
б) $$f(x)=x^3-3x,\quad a=-1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-3.$$
Тогда
$$f'(-1)=3\cdot(-1)^2-3=0,$$
значит, касательная горизонтальна. Её уравнение:
$$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)=2,$$
следовательно, $$y=2.$$
Точки пересечения графика функции с касательной найдём из уравнения
$$x^3-3x=2,$$
$$x^3-3x-2=0,$$
$$x^2+x-2=0 \quad \text{после разложения } (x+1)(x^2-x-2)=0,$$
то есть
$$x=-1 \text{ и } x=2.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-1}^2\bigl(2-(x^3-3x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2(2-x^3+3x)\,dx.$$
$$S=\left(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^2 =\left(4-4+6\right)-\left(-2-\frac14+\frac32\right) =6+\frac34=\frac{27}{4}.$$
Ответ: а) $$\frac{27}{4}$$; б) $$\frac{27}{4}$$.
