Упр.21.74 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси $$y$$ так, что угол между касательными равен $$60^\circ$$.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси $$y$$ так, что угол между касательными равен $$120^\circ$$.
а) Пусть $$f(x)=\frac{x^2\sqrt{3}}{2}.$$ Тогда $$f'(x)=x\sqrt{3}.$$
Угол между касательными равен $$60^\circ$$, значит угловой коэффициент одной из них равен $$\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$ Тогда
$$x\sqrt{3}=\sqrt{3}\Rightarrow x=1.$$
Точка касания: $$\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$ Уравнение касательной:
$$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(x-1),$$
то есть
$$y=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
По чётности функции вторая касательная симметрична относительно оси $$Oy$$, поэтому искомая фигура состоит из двух равных частей:
$$S=2\int\limits_0^1\left(\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{x^2\sqrt{3}}{2}\right)\,dx.$$
Вычислим:
$$S=2\sqrt{3}\int\limits_0^1\left(x-\frac12-\frac{x^2}{2}\right)\,dx =2\sqrt{3}\left(\frac12-\frac12-\frac16\right) =\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
б) Пусть $$f(x)=-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}.$$ Тогда $$f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{3}}.$$
Угол между касательными равен $$120^\circ$$, значит угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$150^\circ$$, и её угловой коэффициент
$$\tan 150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда
$$-\frac{x}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=1.$$
Точка касания: $$\left(1,-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)=\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{6}\right).$$ Уравнение касательной:
$$y+\frac{\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1),$$
то есть
$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{6}.$$
Искомая площадь:
$$S=2\int\limits_0^1\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right)\,dx.$$
Так как $$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6},$$ получаем
$$S=2\int\limits_0^1\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}x^2\right)\,dx =2\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{18}\right) =\frac{\sqrt{3}}{9}.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\frac{\sqrt{3}}{9}$$.
