Упр.21.73 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=3-\frac{1}{2}x^2$$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси $$y$$, так, что угол между касательными равен $$90^\circ$$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=0{,}5(x^2+5)$$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси $$y$$, так, что угол между касательными равен $$90^\circ$$.

Рассмотрим функцию $$y=3-\frac{x^2}{2}.$$ Она чётная, поэтому касательные, проведённые из точки на оси $$Oy$$ и образующие угол $$90^\circ,$$ симметричны относительно оси $$Oy$$.

Пусть точка касания справа имеет абсциссу $$x=1.$$ Тогда

$$y’=-x,$$

значит, угловой коэффициент касательной в этой точке равен $$-1.$$ Уравнение касательной:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=\left(3-\frac12\right)-1\cdot(x-1)=\frac52-x+1=3{,}5-x.$$

По симметрии вторая касательная имеет уравнение $$y=3{,}5+x.$$

Искомая фигура состоит из двух равных частей, поэтому

$$S=2\int\limits_0^1\left((3{,}5-x)-\left(3-\frac{x^2}{2}\right)\right)\,dx =2\int\limits_0^1\left(0{,}5-x+\frac{x^2}{2}\right)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S=2\left(0{,}5x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(0{,}5-\frac12+\frac16\right) =2\cdot\frac16 =\frac13.$$

Для функции $$y=0{,}5(x^2+5)=0{,}5x^2+2{,}5$$ имеем

$$y’=x.$$

Пусть точка касания справа имеет абсциссу $$x=1.$$ Тогда угловой коэффициент касательной равен $$1,$$ и

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=3+1\cdot(x-1)=x+2.$$

Вторая касательная по симметрии: $$y=-x+2.$$ Тогда площадь фигуры:

$$S=2\int\limits_0^1\left((x+2)-\left(0{,}5x^2+2{,}5\right)\right)\,dx =2\int\limits_0^1\left(x-0{,}5-0{,}5x^2\right)\,dx.$$

Вычисляем:

$$S=2\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(\frac12-\frac12-\frac16\right) =\frac13.$$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$\frac13$$.