Упр.21.72 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$, касательной к нему в точке $$x=1$$ и осью $$y$$.
   б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$ и касательными к нему в точках $$x=0$$ и $$x=1$$.

а) Для функции $$y=x^3$$ найдём производную:

$$y’=3x^2.$$

В точке $$x=1$$:

$$y'(1)=3,\qquad y(1)=1.$$

Уравнение касательной:

$$y-1=3(x-1),$$

то есть

$$y=3x-2.$$

Искомая площадь равна

$$S=\int\limits_0^1\bigl((3x-2)-x^3\bigr)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^1 =\frac{3}{2}-2-\frac{1}{4} =-\frac{3}{4}.$$

Площадь не может быть отрицательной, значит

$$S=\frac{3}{4}.$$

б) Для той же функции $$y=x^3$$ касательные в точках $$x=0$$ и $$x=1$$ имеют вид:

$$y=0,$$

$$y=3x-2.$$

Точки пересечения графика и касательных:

$$x^3=0 \Rightarrow x=0,$$

$$x^3=3x-2 \Rightarrow x^3-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)^2(x+2)=0,$$

откуда на отрезке $$[0,1]$$ получаем точку $$x=1.$$

Тогда площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^{2/3}x^3\,dx+\int\limits_{2/3}^1\bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int\limits_0^{2/3}x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Bigg|_0^{2/3}=\frac{4}{81},$$

$$\int\limits_{2/3}^1(x^3-3x+2)\,dx= \left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{2/3}^1 =\frac{11}{324}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{4}{81}+\frac{11}{324}=\frac{1}{12}.$$

Ответ

а) $$\frac{3}{4}$$; б) $$\frac{1}{12}$$.