Упр.21.71 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^{4/3}$$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $$x_0=8$$, и осью абсцисс. б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x\sqrt[4]{x}$$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $$x_0=1$$, и осью ординат.
а) Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=x^{\frac{4}{3}}$$ в точке $$x_0=8$$.
$$y’=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$$
$$y'(8)=\frac{4}{3}\sqrt[3]{8}=\frac{4}{3}\cdot 2=\frac{8}{3}, \qquad y(8)=8^{\frac{4}{3}}=16.$$
Тогда касательная имеет вид
$$y-16=\frac{8}{3}(x-8),$$
то есть
$$y=\frac{8}{3}x-\frac{16}{3}.$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$x^{\frac{4}{3}}=0 \Rightarrow x=0,$$
$$\frac{8}{3}x-\frac{16}{3}=0 \Rightarrow x=2.$$
Искомая площадь:
$$S=\int_{0}^{2}x^{\frac{4}{3}}\,dx+\int_{2}^{8}\left(x^{\frac{4}{3}}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}\right)\,dx.$$
Вычислим:
$$\int x^{\frac{4}{3}}\,dx=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}, \qquad \int\left(x^{\frac{4}{3}}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}\right)\,dx =\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}-\frac{4}{3}x^2+\frac{16}{3}x.$$
Тогда
$$S=\left.\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}\right|_{0}^{2} +\left.\left(\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}-\frac{4}{3}x^2+\frac{16}{3}x\right)\right|_{2}^{8} = \frac{384}{7}-\frac{144}{3} = \frac{48}{7}.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt[4]{x}=x^{\frac{5}{4}}.$$
Найдём касательную в точке $$x_0=1$$:
$$y’=\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}, \qquad y'(1)=\frac{5}{4}, \qquad y(1)=1.$$
Следовательно,
$$y-1=\frac{5}{4}(x-1),$$
то есть
$$y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}.$$
Искомая фигура ограничена графиком функции, касательной и осью ординат $$x=0$$, поэтому
$$S=\int_{0}^{1}\left(x^{\frac{5}{4}}-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\right)\,dx.$$
Вычислим:
$$S=\left.\left(\frac{4}{9}x^{\frac{9}{4}}-\frac{5}{8}x^2+\frac{1}{4}x\right)\right|_{0}^{1} =\frac{4}{9}-\frac{5}{8}+\frac{1}{4} =\frac{5}{72}.$$
Ответ
а) $$\frac{48}{7}$$; б) $$\frac{5}{72}$$.
