Упр.21.70 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=2x-x^2$$, касательной к ней в точке $$x=1$$ и осью $$y$$.
   б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=2x^2-6x$$, касательной к ней в точке $$x=1{,}5$$ и осью $$y$$.

а) $$f(x)=2x-x^2,$$ $$f'(x)=2-2x.$$

Найдём уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$f'(1)=2-2\cdot 1=0,$$

$$f(1)=2\cdot 1-1^2=1,$$

значит, касательная имеет вид $$y=1.$$

Искомая площадь:

$$S=\int\limits_0^1 \bigl(1-(2x-x^2)\bigr)\,dx=\int\limits_0^1 (1-2x+x^2)\,dx.$$

$$S=\left(x-x^2+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1=1-1+\frac13=\frac13.$$

б) $$f(x)=2x^2-6x,$$ $$f'(x)=4x-6.$$

Найдём уравнение касательной в точке $$x=1{,}5$$:

$$f'(1{,}5)=4\cdot 1{,}5-6=0,$$

$$f(1{,}5)=2\cdot (1{,}5)^2-6\cdot 1{,}5=4{,}5-9=-4{,}5,$$

значит, касательная имеет вид $$y=-4{,}5.$$

Искомая площадь:

$$S=\int\limits_0^{1{,}5}\bigl((-4{,}5)-(2x^2-6x)\bigr)\,dx=\int\limits_0^{1{,}5}(-4{,}5-2x^2+6x)\,dx.$$

$$S=\left(-4{,}5x-\frac{2x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^{1{,}5}.$$

Подставим $$x=1{,}5=\frac32$$:

$$S=-4{,}5\cdot 1{,}5-\frac{2\cdot (1{,}5)^3}{3}+3\cdot (1{,}5)^2=2{,}25.$$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$2{,}25$$.