Упр.21.69 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=2x-5$$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $$M(1;-3)$$.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=4x+1$$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $$M(2;6)$$.
а) Первообразная функции $$y=2x-5$$ имеет вид
$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C.$$
Так как график первообразной проходит через точку $$M(1;-3),$$ то
$$-3=1^2-5\cdot 1+C,$$
откуда $$C=1.$$ Значит,
$$F(x)=x^2-5x+1.$$
Найдём точки пересечения графиков:
$$2x-5=x^2-5x+1,$$
$$x^2-7x+6=0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0,$$
$$x=1,\; x=6.$$
На отрезке $$[1;6]$$ сверху находится прямая $$y=2x-5,$$ поэтому площадь равна
$$S=\int\limits_{1}^{6}\bigl((2x-5)-(x^2-5x+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{6}(-x^2+7x-6)\,dx.$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-6x\right)\Bigg|_{1}^{6} =-\frac{216}{3}+\frac{7\cdot 36}{2}-36+\frac{1}{3}-\frac{7}{2}+6 =20\frac{5}{6}.$$
б) Первообразная функции $$y=4x+1$$ имеет вид
$$F(x)=\int (4x+1)\,dx=2x^2+x+C.$$
Так как график первообразной проходит через точку $$M(2;6),$$ то
$$6=2\cdot 2^2+2+C,$$
откуда $$C=-4.$$ Значит,
$$F(x)=2x^2+x-4.$$
Найдём точки пересечения графиков:
$$4x+1=2x^2+x-4,$$
$$2x^2-3x-5=0,$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-5)=49,$$
$$x_{1}=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad x_{2}=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}.$$
На отрезке $$\left[-1;\frac{5}{2}\right]$$ сверху находится парабола $$y=2x^2+x-4,$$ поэтому
$$S=\int\limits_{-1}^{5/2}\bigl((2x^2+x-4)-(4x+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{5/2}(2x^2-3x-5)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-5x\right)\Bigg|_{-1}^{5/2} =14\frac{7}{24}.$$
Ответ: а) $$20\frac{5}{6}$$; б) $$14\frac{7}{24}$$.
