Упр.21.67 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$\sin 2x=\frac{16x^2}{\pi^2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ они пересекаются в точках $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{4}$$. Тогда

$$S=\int\limits_0^{\pi/4}\left(\sin 2x-\frac{16x^2}{\pi^2}\right)\,dx =\left(-\frac12\cos 2x-\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^{\pi/4}.$$

$$S=\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{64}\right)-\left(-\frac12\cos 0\right) =\frac12-\frac{\pi}{12}.$$

б) Точки пересечения:

$$x^2-1=\cos\frac{\pi x}{2}$$

На отрезке $$[-1;1]$$ получаем искомую площадь:

$$S=\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-x^2+1\right)\,dx =\left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$

$$S=\left(\frac{2}{\pi}-\frac13+1\right)-\left(-\frac{2}{\pi}+\frac13-1\right) =\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3}.$$

в) Имеем:

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2\right)\,dx$$

$$=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\frac{4x^2}{\pi^2}+\frac{4x}{\pi}-1\right)\,dx$$

$$=\left(\sin x-\frac{4x^3}{3\pi^2}+\frac{2x^2}{\pi}-x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

$$S=1-\frac{\pi}{6}.$$

г) Имеем:

$$S=\int\limits_0^2\left(\sin\frac{\pi x}{2}-x^2+2x\right)\,dx$$

$$=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_0^2.$$

$$S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\pi-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-\frac{2}{\pi}\cos 0\right) =\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi}.$$

Ответ: а) $$\frac12-\frac{\pi}{12}$$; б) $$\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3}$$; в) $$1-\frac{\pi}{6}$$; г) $$\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi}$$.