Упр.21.66 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Функции чётные, поэтому искомую площадь удобно найти на положительной полуоси и удвоить.

а)

$$y=|x^2-4|,\quad x=-3,\ x=3,\ y=0$$

На отрезке $$[0;3]$$ имеем:

$$|x^2-4|=\begin{cases}4-x^2,& 0\le x\le 2,\\ x^2-4,& 2\le x\le 3.\end{cases}$$

Тогда

$$S=2\left(\int_0^2 (4-x^2)\,dx+\int_2^3 (x^2-4)\,dx\right).$$

Вычислим:

$$\int_0^2 (4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3},$$

$$\int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_2^3=\left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=\frac{7}{3}.$$

Следовательно,

$$S=2\left(\frac{16}{3}+\frac{7}{3}\right)=2\cdot\frac{23}{3}=\frac{46}{3}=15\frac{1}{3}.$$

б)

$$y=|x^2-2|x||,\quad x=-3,\ x=3,\ y=0$$

На отрезке $$[0;3]$$:

$$|x^2-2|x||=|x^2-2x|=\begin{cases}2x-x^2,& 0\le x\le 2,\\ x^2-2x,& 2\le x\le 3.\end{cases}$$

Тогда

$$S=2\left(\int_0^2 (2x-x^2)\,dx+\int_2^3 (x^2-2x)\,dx\right).$$

Вычислим:

$$\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3},$$

$$\int_2^3 (x^2-2x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}.$$

Следовательно,

$$S=2\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\right)=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$15\frac{1}{3}$$; б) $$5\frac{1}{3}$$.