Упр.21.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Функции $$y=3-x^2$$ и $$y=1+|x|$$ чётные, значит искомая фигура симметрична относительно оси $$Oy$$. Найдём точки пересечения при $$x \ge 0$$:

$$3-x^2=1+x$$

$$x^2+x-2=0$$

$$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположена парабола $$y=3-x^2$$, снизу — прямая $$y=1+x$$. Тогда

$$S=2\int_0^1\bigl((3-x^2)-(1+x)\bigr)\,dx=2\int_0^1(2-x^2-x)\,dx.$$

$$S=2\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac13-\frac12\right) =2\cdot\frac76=\frac73.$$

б) Функции $$y=x^2$$ и $$y=2-|x|$$ также чётные, поэтому достаточно рассмотреть часть при $$x \ge 0$$. Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2=2-x$$

$$x^2+x-2=0.$$

Отсюда $$x_1=-2,\ x_2=1$$, значит на отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=2-x$$, снизу — $$y=x^2$$. Тогда

$$S=2\int_0^1\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx=2\int_0^1(2-x-x^2)\,dx.$$

$$S=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac12-\frac13\right) =2\cdot\frac76=\frac73.$$

Ответ

а) $$\frac73$$; б) $$\frac73$$.