Упр.21.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$|x|=-|x|+2,$$

$$2|x|=2,\quad |x|=1,\quad x=\pm 1.$$

На отрезке $$[-1;1]$$ верхняя функция $$y=-|x|+2$$, нижняя — $$y=|x|$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^{1}\bigl((-|x|+2)-|x|\bigr)\,dx=\int_{-1}^{1}(2-2|x|)\,dx.$$

По симметрии:

$$S=2\int_{0}^{1}(2-2x)\,dx=2\bigl(2x-x^2\bigr)\Big|_{0}^{1}=2(2-1)=2.$$

б) Точки пересечения:

$$|x+1|=-(x-1)^2+2.$$

При $$x\in[-1;1]$$ имеем $$|x+1|=x+1$$, поэтому

$$x+1=-(x-1)^2+2,$$

$$x+1=-x^2+2x+1,$$

$$x^2-x=0,$$

$$x(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция $$y=-(x-1)^2+2$$, нижняя — $$y=|x+1|=x+1$$. Тогда

$$S=\int_{0}^{1}\Bigl(- (x-1)^2+2-(x+1)\Bigr)\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{6}.$$

в) Точки пересечения:

$$|x|-2=\frac{x}{2}.$$

Решим по частям.

Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

$$x-2=\frac{x}{2},\quad x=4.$$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

$$-x-2=\frac{x}{2},\quad -\frac{3x}{2}=2,\quad x=-\frac{4}{3}.$$

Площадь равна сумме двух интегралов:

$$S=\int_{-\frac{4}{3}}^{0}\left(\frac{x}{2}-(-x-2)\right)\,dx+\int_{0}^{4}\left(\frac{x}{2}-(x-2)\right)\,dx.$$

$$S=\int_{-\frac{4}{3}}^{0}\left(\frac{3x}{2}+2\right)\,dx+\int_{0}^{4}\left(2-\frac{x}{2}\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{3x^2}{4}+2x\right)\Big|_{-\frac{4}{3}}^{0}+\left(2x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_{0}^{4}=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}.$$

г) Точки пересечения:

$$(x-1)^2=-|x+1|+2.$$

При $$x\in[-1;1]$$ имеем $$|x+1|=x+1$$, поэтому

$$(x-1)^2=-x-1+2=1-x.$$

$$x^2-2x+1=1-x,$$

$$x^2-x=0,$$

$$x(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция $$y=-|x+1|+2=1-x$$, нижняя — $$y=(x-1)^2$$. Тогда

$$S=\int_{0}^{1}\Bigl((1-x)-(x-1)^2\Bigr)\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{6}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{1}{6}$$; в) $$\frac{16}{3}$$; г) $$\frac{1}{6}$$.