Упр.21.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдём точку пересечения графиков:

$$e^x=\frac{e}{x}$$

При $$x=e$$ получаем $$e^e=\frac{e}{e}=1,$$ значит, пересечение происходит при $$x=1$$, так как

$$e^1=\frac{e}{1}=e.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int_0^1 e^x\,dx+\int_1^e \frac{e}{x}\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left.e^x\right|_0^1+\left.e\ln|x|\right|_1^e =(e-1)+e(\ln e-\ln 1)=e-1+e=2e-1.$$

Ответ: $$2e-1.$$

Ход решения

б) Найдём точку пересечения графиков:

$$\left(\frac13\right)^x=x^2+1.$$

Проверим $$x=0$$:

$$\left(\frac13\right)^0=1,\qquad 0^2+1=1.$$

Значит, графики пересекаются в точке при $$x=0$$. На отрезке $$[0;2]$$ имеем

$$x^2+1\ge \left(\frac13\right)^x,$$

поэтому площадь фигуры:

$$S=\int_0^2 \left(x^2+1-\left(\frac13\right)^x\right)\,dx.$$

Интегрируем:

$$S=\left(\frac{x^3}{3}+x-\frac{3^{-x}}{\ln 3}\right)\Bigg|_0^2.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(\frac{8}{3}+2-\frac{1}{9\ln 3}\right)-\left(0+0-\frac{1}{\ln 3}\right) =\frac{14}{3}+\frac{8}{9\ln 3}.$$

Можно записать так:

$$S=\frac{2}{3}\left(7+\frac{4}{3\ln 3}\right).$$

Ответ: $$\frac{2}{3}\left(7+\frac{4}{3\ln 3}\right).$$