Упр.21.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.61. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=2x-1$$, $$x=2$$; б) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$y=2(x-1)$$, $$x=4$$.

а) Найдём точку пересечения графиков:

$$\frac{1}{x^2}=2x-1$$

При $$x=1$$ получаем равенство, значит на отрезке $$[1;2]$$ верхняя функция — $$y=2x-1$$, нижняя — $$y=\frac{1}{x^2}$$.

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_{1}^{2}\left(2x-1-\frac{1}{x^2}\right)\,dx =\int\limits_{1}^{2}\left(2x-1-x^{-2}\right)\,dx.$$

$$S=\left(x^2-x+\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\left(4-2+\frac12\right)-\left(1-1+1\right) =\frac52-1=\frac32.$$

$$S=\frac{2}{\ln 2}-\frac32$$

б) Найдём точку пересечения:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=2^{x-1}$$

При $$x=1$$ получаем равенство, значит на отрезке $$[1;4]$$ верхняя функция — $$y=2^{x-1}$$, нижняя — $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$.

Тогда

$$S=\int\limits_{1}^{4}\left(2^{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx =\int\limits_{1}^{4}\left(\frac{2^x}{2}-x^{-1/2}\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{2^x}{2\ln 2}-2\sqrt{x}\right)\Bigg|_{1}^{4} =\left(\frac{16}{2\ln 2}-4\right)-\left(\frac{2}{2\ln 2}-2\right) =\frac{7}{\ln 2}-2.$$

Ответ: а) $$\frac{2}{\ln 2}-\frac32$$; б) $$\frac{7}{\ln 2}-2$$.