Упр.21.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=2x$$, $$y=3-x$$, $$y=0$$, $$x=0$$;
• б) $$y=3x$$, $$y=5-2x$$, $$y=0$$, $$x=0$$.

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=2^x$$ и $$y=3-x$$:

$$2^x=3-x.$$

Проверим целые значения: при $$x=1$$ получаем $$2^1=2$$ и $$3-1=2$$, значит, точка пересечения — $$\left(1;2\right)$$.

Искомая фигура ограничена сверху прямой $$y=3-x$$ на отрезке $$[1;3]$$ и графиком $$y=2^x$$ на отрезке $$[0;1]$$, снизу осью $$Ox$$.

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_0^1 2^x\,dx+\int\limits_1^3 (3-x)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int\limits_0^1 2^x\,dx=\left.\frac{2^x}{\ln 2}\right|_0^1=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2},$$

$$\int\limits_1^3 (3-x)\,dx=\left.(3x-\frac{x^2}{2})\right|_1^3 =\left(9-\frac{9}{2}\right)-\left(3-\frac{1}{2}\right)=2.$$

Следовательно,

$$S=2+\frac{1}{\ln 2}.$$

б) Найдём точку пересечения графиков $$y=3^x$$ и $$y=5-2x$$:

$$3^x=5-2x.$$

При $$x=1$$ имеем $$3^1=3$$ и $$5-2\cdot 1=3$$, значит, точка пересечения — $$\left(1;3\right)$$.

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^1 3^x\,dx+\int\limits_1^{5/2} (5-2x)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int\limits_0^1 3^x\,dx=\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|_0^1=\frac{3-1}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3},$$

$$\int\limits_1^{5/2} (5-2x)\,dx=\left.(5x-x^2)\right|_1^{5/2} =\left(\frac{25}{2}-\frac{25}{4}\right)-(5-1)=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$S=\frac{9}{4}+\frac{2}{\ln 3}.$$

Ответ

а) $$2+\frac{1}{\ln 2}$$; б) $$\frac{9}{4}+\frac{2}{\ln 3}$$.