Упр.21.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\int_{-1}^{0}\frac{(x^2-2x)(3-2x)}{x-2}\,dx$$; б) $$\int_{0}^{3}\frac{(x^2-4x)(x^2-1)}{x^2+x-2}\,dx$$; в) $$\int_{2}^{3}\frac{(x^2-3x+2)(2+x)}{x-1}\,dx$$; г) $$\int_{-1}^{1}\frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12}\,dx$$.
а) $$\int_{-1}^{0}\frac{(x^2-2x)(3-2x)}{x-2}\,dx=\int_{-1}^{0}x(3-2x)\,dx=\int_{-1}^{0}(3x-2x^2)\,dx$$
$$=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{0}=0-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right)=-\frac{13}{6}=-2\frac{1}{6}.$$
б) $$\int_{2}^{3}\frac{(x^2-4)(x^2-1)}{x^2+x-2}\,dx=\int_{2}^{3}\frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)}\,dx$$
$$=\int_{2}^{3}(x-2)(x+1)\,dx=\int_{2}^{3}(x^2-x-2)\,dx$$
$$=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_{2}^{3}=\left(9-\frac{9}{2}-6\right)-\left(\frac{8}{3}-2-4\right)=\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}.$$
в) $$\int_{2}^{3}\frac{(x^2-3x+2)(2+x)}{x-1}\,dx=\int_{2}^{3}\frac{(x-2)(x-1)(x+2)}{x-1}\,dx$$
$$=\int_{2}^{3}(x-2)(x+2)\,dx=\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx$$
$$=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_{2}^{3}=\left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}.$$
г) $$\int_{-1}^{1}\frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12}\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-4)(x-3)}\,dx$$
$$=\int_{-1}^{1}-(x+3)(x+4)\,dx=-\int_{-1}^{1}(x^2+7x+12)\,dx$$
$$=-\left(\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Bigg|_{-1}^{1}=-\left(\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+12-\left(-\frac{1}{3}+\frac{7}{2}-12\right)\right)=-\frac{74}{3}=-24\frac{2}{3}.$$
Ответ: а) $$-2\frac{1}{6}$$; б) $$1\frac{5}{6}$$; в) $$2\frac{1}{3}$$; г) $$-24\frac{2}{3}$$.
