Упр.21.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=e^x,\ y=\frac{1}{x},\ x=2,\ x=3$$
2. б) $$y=\frac{1}{x},\ y=1,\ x=5$$
3. в) $$y=\sqrt{x},\ y=\frac{1}{x},\ x=4$$
4. г) $$y=-\frac{1}{x},\ y=-1,\ x=e$$

а) На отрезке $$[2;3]$$ функция $$y=e^x$$ лежит выше графика $$y=\frac{1}{x}$$, поэтому

$$S=\int_{2}^{3}\left(e^x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(e^x-\ln|x|\right)\Big|_{2}^{3}.$$

$$S=(e^3-\ln 3)-(e^2-\ln 2)=e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}$$.

б) На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$\frac{1}{x}\le 1$$, значит

$$S=\int_{1}^{5}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{5}.$$

$$S=(5-\ln 5)-(1-\ln 1)=5-\ln 5-1=4-\ln 5.$$

Ответ: $$4-\ln 5$$.

в) На отрезке $$[1;4]$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ выше графика $$y=\frac{1}{x}$$, поэтому

$$S=\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\int_{1}^{4}\left(x^{1/2}-\frac{1}{x}\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{4}.$$

$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\ln 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\ln 1\right) =\frac{16}{3}-\ln 4-\frac{2}{3} =\frac{14}{3}-\ln 4.$$

Ответ: $$\frac{14}{3}-\ln 4$$.

г) На отрезке $$[1;e]$$ имеем $$-\frac{1}{x}\ge -1$$, значит

$$S=\int_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x}-(-1)\right)\,dx =\int_{1}^{e}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx.$$

$$S=\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{e} =(e-\ln e)-(1-\ln 1)=e-1-1=e-2.$$

Ответ: $$e-2$$.