Упр.21.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$:

$$e^x=e^{-x}$$

$$x=-x$$

$$x=0.$$

На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположена функция $$y=e^x$$, снизу — $$y=e^{-x}$$. Тогда

$$S=\int_0^1 \left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^1 =(e+e^{-1})-(1+1) =\frac{(e-1)^2}{e}.$$

б) Найдём точку пересечения графиков $$y=\frac{1}{e^x}$$ и $$y=1$$:

$$\frac{1}{e^x}=1$$

$$e^x=1$$

$$x=0.$$

На отрезке $$[-1;0]$$ сверху расположена функция $$y=\frac{1}{e^x}=e^{-x}$$, снизу — $$y=1$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^0 \left(e^{-x}-1\right)\,dx =\left(-e^{-x}-x\right)\Big|_{-1}^0 =e-2.$$

в) Преобразуем уравнение прямой:

$$x+2y=2 \quad \Rightarrow \quad y=1-\frac{x}{2}.$$

Точка пересечения с графиком $$y=e^x$$ находится из уравнения

$$e^x=1-\frac{x}{2}.$$

На отрезке $$[0;2]$$ сверху находится $$y=e^x$$, снизу — $$y=1-\frac{x}{2}$$. Тогда

$$S=\int_0^2 \left(e^x-\left(1-\frac{x}{2}\right)\right)\,dx =\int_0^2 \left(e^x-1+\frac{x}{2}\right)\,dx$$

$$=\left(e^x-x+\frac{x^2}{4}\right)\Big|_0^2 =(e^2-2+1)-1 =e^2-2.$$

г) Найдём точки пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=-e^x$$:

$$e^x=-e^x$$

$$2e^x=0,$$

что невозможно. Значит, границы фигуры задаются прямыми $$x=0$$ и $$x=2$$, а сверху расположена функция $$y=e^x$$, снизу — $$y=-e^x$$. Тогда

$$S=\int_0^2 \left(e^x-(-e^x)\right)\,dx =\int_0^2 2e^x\,dx =2e^x\Big|_0^2 =2(e^2-1).$$

Ответ: а) $$\frac{(e-1)^2}{e}$$; б) $$e-2$$; в) $$e^2-2$$; г) $$2(e^2-1)$$.