Упр.21.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=2-\sqrt{x},\quad y=\sqrt{x},\quad 3x+5y=22$$

б) $$y=\sqrt{x},\quad y=3-2\sqrt{x},\quad 4x-5y-21=0$$

а) Третья функция:

$$3x+5y=22$$

$$5y=22-3x$$

$$y=4{,}4-0{,}6x$$

Искомая фигура ограничена графиками $$y=2-\sqrt{x}$$, $$y=\sqrt{x}$$ и прямой $$y=4{,}4-0{,}6x$$.

Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=2-\sqrt{x}\Rightarrow \sqrt{x}=1,\ x=1,$$

$$\sqrt{x}=4{,}4-0{,}6x \Rightarrow x=4,$$

$$2-\sqrt{x}=4{,}4-0{,}6x \Rightarrow x=9.$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_{4}^{9}\bigl(4{,}4-0{,}6x-(2-\sqrt{x})\bigr)\,dx+\int\limits_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x}-(2-\sqrt{x})\bigr)\,dx.$$

$$S=\int\limits_{4}^{9}(2{,}4-0{,}6x+\sqrt{x})\,dx+\int\limits_{1}^{4}(2\sqrt{x}-2)\,dx.$$

$$S=8{,}5.$$

Ответ: $$8{,}5.$$

б) Третья функция:

$$4x-5y-21=0$$

$$5y=4x-21$$

$$y=0{,}8x-4{,}2$$

Искомая фигура ограничена графиками $$y=\sqrt{x}$$, $$y=3-2\sqrt{x}$$ и прямой $$y=0{,}8x-4{,}2$$.

Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=3-2\sqrt{x}\Rightarrow 3\sqrt{x}=3,\ x=1,$$

$$\sqrt{x}=0{,}8x-4{,}2 \Rightarrow x=9,$$

$$3-2\sqrt{x}=0{,}8x-4{,}2 \Rightarrow x=4.$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x}-(3-2\sqrt{x})\bigr)\,dx+\int\limits_{4}^{9}\bigl(\sqrt{x}-(0{,}8x-4{,}2)\bigr)\,dx.$$

$$S=\int\limits_{1}^{4}(3\sqrt{x}-3)\,dx+\int\limits_{4}^{9}(\sqrt{x}-0{,}8x+4{,}2)\,dx.$$

$$S=12\tfrac{2}{3}.$$

Ответ: $$12\tfrac{2}{3}.$$