Упр.21.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},\quad y=0,\quad x=4.$$

На отрезке $$[0;4]$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$5\frac{1}{3}.$$

б) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt[3]{x},\quad y=1,\quad x=0.$$

Точка пересечения графиков $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=1$$ находится из уравнения

$$\sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$\sqrt[3]{x}\le 1$$, значит

$$S=\int_0^1 \left(1-\sqrt[3]{x}\right)\,dx =\int_0^1 \left(1-x^{1/3}\right)\,dx =\left.x-\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1 =1-\frac{3}{4} =\frac{1}{4}.$$

Ответ: $$\frac{1}{4}.$$

в) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{1}{x^2},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=3.$$

На отрезке $$[1;3]$$ функция $$\frac{1}{x^2}$$ положительна, поэтому

$$S=\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int_1^3 x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_1^3=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}.$$

г) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},\quad y=2,\quad x=0.$$

Точка пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$ находится из уравнения

$$\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

На отрезке $$[0;4]$$ имеем $$\sqrt{x}\le 2$$, значит

$$S=\int_0^4 \left(2-\sqrt{x}\right)\,dx =\int_0^4 \left(2-x^{1/2}\right)\,dx =\left. \left(2x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\right|_0^4 =8-\frac{2}{3}\cdot 8 =8-\frac{16}{3} =\frac{8}{3}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}.$$