Упр.21.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/6}\left(2\cos 3x-3\sin 2x+6\right)\,dx.$$

Найдём первообразную:

$$\int\left(2\cos 3x-3\sin 2x+6\right)\,dx=\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{3}{2}\cos 2x+6x.$$

Тогда

$$S=\left(\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{3}{2}\cos 2x+6x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/6}$$

$$=\left(\frac{2}{3}\sin\frac{\pi}{2}+\frac{3}{2}\cos\frac{\pi}{3}+\pi\right)-\left(\frac{2}{3}\sin 0+\frac{3}{2}\cos 0\right)$$

$$=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}+\pi-\frac{3}{2} =\pi-\frac{1}{12}.$$

б) Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{\pi/4}^{5\pi/4}\left(2\sin 4x+3\cos 2x+7\right)\,dx.$$

Найдём первообразную:

$$\int\left(2\sin 4x+3\cos 2x+7\right)\,dx=-\frac{1}{2}\cos 4x+\frac{3}{2}\sin 2x+7x.$$

Тогда

$$S=\left(-\frac{1}{2}\cos 4x+\frac{3}{2}\sin 2x+7x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{5\pi/4}$$

$$=\left(-\frac{1}{2}\cos 5\pi+\frac{3}{2}\sin\frac{5\pi}{2}+\frac{35\pi}{4}\right) -\left(-\frac{1}{2}\cos\pi+\frac{3}{2}\sin\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{4}\right)$$

$$=\left(-\frac{1}{2}\cdot(-1)+\frac{3}{2}\cdot 1+\frac{35\pi}{4}\right) -\left(-\frac{1}{2}\cdot(-1)+\frac{3}{2}\cdot 1+\frac{7\pi}{4}\right) =7\pi.$$

Ответ: а) $$\pi-\frac{1}{12}$$; б) $$7\pi$$.