Упр.21.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$y=\cos x,\quad y=-x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}$$
2. $$y=\sin 2x,\quad y=x-\frac{\pi}{2},\quad x=0$$
3. $$y=\sin x,\quad y=-x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}$$
4. $$y=\cos\frac{x}{2},\quad y=x-\pi,\quad x=0,\quad x=\pi$$

Площадь фигуры находим как определённый интеграл разности верхней и нижней функций на указанном промежутке.

а)

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}(\cos x-(-x))\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}(\cos x+x)\,dx.$$

$$S=\left(\sin x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-\sin 0=\frac{\pi^2}{8}+1.$$

б)

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}(\sin 2x-(-x+\frac{\pi}{2}))\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\sin 2x+x-\frac{\pi}{2}\right)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{x^2}{2}-\frac{\pi}{2}x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

$$S=\left(-\frac{1}{2}\cos\pi+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\cos 0\right)=1+\frac{\pi^2}{8}.$$

в)

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}(\sin x-(-x))\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}(\sin x+x)\,dx.$$

$$S=\left(-\cos x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-(-\cos 0)=\frac{\pi^2}{8}+1.$$

г)

$$S=\int\limits_0^{\pi}\left(\cos\frac{x}{2}-(x-\pi)\right)\,dx=\int\limits_0^{\pi}\left(\cos\frac{x}{2}-x+\pi\right)\,dx.$$

$$S=\left(2\sin\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}+\pi x\right)\Bigg|_0^{\pi}.$$

$$S=2\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{2}+\pi^2=2+\frac{\pi^2}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi^2}{8}+1$$; б) $$\frac{\pi^2}{8}+1$$; в) $$\frac{\pi^2}{8}+1$$; г) $$\frac{\pi^2}{2}+2$$.