Упр.21.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём точки пересечения графиков и затем вычислим площадь как интеграл разности верхней и нижней функций.

а)

$$x^2-4x=-(x-4)^2$$

$$x^2-4x=-x^2+8x-16$$

$$2x^2-12x+16=0$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$x_1=2,\quad x_2=4$$

На отрезке $$[2;4]$$ сверху находится функция $$y=-(x-4)^2$$, поэтому

$$S=\int_2^4\left( -(x-4)^2-(x^2-4x)\right)\,dx =\int_2^4(12x-2x^2-16)\,dx.$$

$$S=\left(6x^2-\frac{2x^3}{3}-16x\right)\Bigg|_2^4 = \frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$

б)

$$x^2+2x-3=-x^2+2x+5$$

$$2x^2-8=0$$

$$x^2=4,\quad x_1=-2,\quad x_2=2$$

На отрезке $$[-2;2]$$ сверху находится функция $$y=-x^2+2x+5$$, поэтому

$$S=\int_{-2}^2\left( (-x^2+2x+5)-(x^2+2x-3)\right)\,dx =\int_{-2}^2(8-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^2 =\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

в)

$$x^2-6x+9=(x+1)(3-x)$$

$$x^2-6x+9=3+2x-x^2$$

$$2x^2-8x+6=0$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$x_1=1,\quad x_2=3$$

На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится функция $$y=(x+1)(3-x)$$, поэтому

$$S=\int_1^3\left( (x+1)(3-x)-(x^2-6x+9)\right)\,dx =\int_1^3(8x-2x^2-6)\,dx.$$

$$S=\left(4x^2-\frac{2x^3}{3}-6x\right)\Bigg|_1^3 =\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$

г)

$$x^2-4x+3=-x^2+6x-5$$

$$2x^2-10x+8=0$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$x_1=1,\quad x_2=4$$

На отрезке $$[1;4]$$ сверху находится функция $$y=-x^2+6x-5$$, поэтому

$$S=\int_1^4\left( (-x^2+6x-5)-(x^2-4x+3)\right)\,dx =\int_1^4(10x-2x^2-8)\,dx.$$

$$S=\left(5x^2-\frac{2x^3}{3}-8x\right)\Bigg|_1^4 =9.$$

Ответ

а) $$2\frac{2}{3}$$; б) $$21\frac{1}{3}$$; в) $$2\frac{2}{3}$$; г) $$9$$.