Упр.21.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдём точки пересечения графиков и вычислим площадь как определённый интеграл разности верхней и нижней функций.
а) $$y=1-x^2,\quad y=-x-1$$
Точки пересечения:
$$1-x^2=-x-1$$
$$x^2-x-2=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
На отрезке $$[-1;2]$$ сверху находится парабола $$y=1-x^2$$, поэтому
$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((1-x^2)-(-x-1)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2}= \frac{9}{2}$$
Ответ: $$4{,}5$$.
б) $$y=x^2-3x+2,\quad y=x-1$$
Точки пересечения:
$$x^2-3x+2=x-1$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху прямая $$y=x-1$$, поэтому
$$S=\int_{1}^{3}\bigl((x-1)-(x^2-3x+2)\bigr)\,dx=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{4}{3}$$
Ответ: $$1\frac{1}{3}$$.
в) $$y=x^2-1,\quad y=2x+2$$
Точки пересечения:
$$x^2-1=2x+2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[-1;3]$$ сверху прямая $$y=2x+2$$, поэтому
$$S=\int_{-1}^{3}\bigl((2x+2)-(x^2-1)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{3}=\frac{32}{3}$$
Ответ: $$10\frac{2}{3}$$.
г) $$y=-x^2+2x+3,\quad y=3-x$$
Точки пересечения:
$$-x^2+2x+3=3-x$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[0;3]$$ сверху парабола $$y=-x^2+2x+3$$, поэтому
$$S=\int_{0}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(3-x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3}=\frac{9}{2}$$
Ответ: $$4{,}5$$.
