Упр.21.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 21.47. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
   а) $$y=1+\frac{1}{2}\cos x$$, $$y=0$$, $$x=-\frac{\pi}{2}$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$y=1-\sin 2x$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=\pi$$;
   в) $$y=1+2\sin x$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$;
   г) $$y=2\cos\frac{x}{2}$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=\frac{2\pi}{3}$$.

Найдём площадь как определённый интеграл от верхней функции на заданном отрезке.

1. $$y=1+\frac12\cos x,\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$1+\frac12\cos x\ge 0$$, поэтому

   $$S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\frac12\cos x\right)\,dx =\left(x+\frac12\sin x\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}.$$

   $$S=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\pi+1.$$

2. $$y=1-\sin 2x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\pi$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем $$1-\sin 2x\ge 0$$, значит

   $$S=\int_{0}^{\pi}(1-\sin 2x)\,dx =\left(x+\frac12\cos 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi}.$$

   $$S=\left(\pi+\frac12\cos 2\pi\right)-\left(0+\frac12\cos 0\right) =\pi.$$

3. $$y=1+2\sin x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$1+2\sin x\ge 0$$, поэтому

   $$S=\int_{0}^{\pi/2}(1+2\sin x)\,dx =\left(x-2\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2}.$$

   $$S=\left(\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0-2\cos 0\right) =\frac{\pi}{2}+2.$$

4. $$y=2\cos\frac{x}{2},\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$ имеем $$2\cos\frac{x}{2}\ge 0$$, значит

   $$S=\int_{0}^{2\pi/3}2\cos\frac{x}{2}\,dx =\left(4\sin\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{0}^{2\pi/3}.$$

   $$S=4\sin\frac{\pi}{3}-4\sin 0 =4\cdot\frac{\sqrt3}{2} =2\sqrt3.$$

Ответ: а) $$\pi+1$$; б) $$\pi$$; в) $$\frac{\pi}{2}+2$$; г) $$2\sqrt3$$.