Упр.21.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём площади фигур как определённые интегралы.

а)

$$S=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1.$$

б)

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right]$$ функция $$\cos 2x$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x\Big|_{-\pi/6}^{\pi/6}=\frac12\left(\sin\frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

в)

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ функция $$\cos x$$ неотрицательна, значит

$$S=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2.$$

г)

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ функция $$\sin\frac{x}{2}$$ неотрицательна, поэтому

$$S=\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=-2\cos\frac{x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi}=-2\cos\frac{\pi}{2}+2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$\sqrt2$$; г) $$\sqrt2$$.